Тиман, А.Ф.; Трофимов, В.Н. Введение в теорию гармонических функций

Книга имеет целью ознакомить читателя, владеющего математическим анализом в объеме первых двух курсов университета или пединститута, с основными положениями классической теории гармонических функций. Изложение, носящее достаточно элементарный характер, ведется для функций произвольного числа действительных переменных.

Основой аппарата классической теории гармонических функций является общая интегральная формула Остроградского. Этой формуле и некоторым наиболее существенным ее трактовкам посвящена специальная глава. Отдельно рассматривается также фундаментальное понятие теории - оператор Лапласа и некоторые другие примыкающие к нему понятия анализа.

По аналогии с основными свойствами линейной функции вводится определение гармонической функции нескольких переменных и с помощью формулы Грина для оператора Лапласа устанавливаются соответствующие свойства таких функций. Дальнейшее развитие теории строится на формуле Пуассона, которая служит простейшим, а также наиболее важным примером решения задачи Дирихле.
Другим важным средством изучения гармонических функций, рассматриваемым в книге, является интеграл энергии. Излагаются некоторые относящиеся к нему неравенства, даны представление о вариационном принципе Дирихле и полное доказательство этого принципа для шаровой области.

Приводятся также сведения о субгармонических и супергармонических функциях. В связи с задачей Дирихле излагается основанный на понятии субгармоничности метод Перрона.